Question

【題目】已知函數f（x）=ax﹣lnx﹣1，若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線2x+y﹣1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）函數g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）（m∈R）恰有兩個零點x1 ， x2（x1＜x2），求函數g（x）的單調區間及實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞）

由 ，且 ，解得a=1．

（2）解：因為g（x）=（1﹣m）（x﹣1）﹣lnx，x∈（0，+∞）

則 ．

（ⅰ）當1﹣m≤0即m≥1時，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上單調遞減

此時只存在一個零點，不合題意．

（ⅱ）當m＜1時，令g'（x）=0，解得 ．

當x變化時，g（x）與g'（x）的變化情況如下表：

x	（0， ）
g'（x）	﹣	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

由題意可知， ．

下面判斷極小值的正負．

設h（m）=m+ln（1﹣m），m＜1

①當m=0時，h（0）=0，即g（x）極小=0

此時g（x）恰有一個零點不合題意

②當m≠0且m＜1時，

當m＜0時，h'（m）＞0； 當0＜m＜1時，h'（x）＜0

所以h（m）在（﹣∞，0）上單調遞增，在（0，1）單調遞減．

所以h（m）＜h（0）=0，此時g（x）恰有兩個零點．

綜上，m的取值范圍是（﹣∞，0）∪（0，1）．

【解析】（1）求出f（x）的導數，根據 ，求出a的值即可；（2）求出g（x）的導數，通過討論m的范圍結合g（x）的單調性，求出g（x）的極小值，結合極小值的正負，求出m的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．