Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），其中a為參數．
（1）當a=0時，求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（2）討論函數f（x）極值點的個數，并說明理由；
（3）若對任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時，f（x）=lnx，f（1）=0，

求導f′（x）= ，f′（1）=1，

f（x）在x=1處的切線斜率k=1，則y﹣0=1×（x﹣1），整理得：y=x﹣1，；

∴函數f（x）在x=1處的切線方程y=x﹣1

（2）解：f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），定義域為（0，+∞） ，設g（x）=2ax2﹣3ax+1，

①當a=0時，g（x）=1，故f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上為增函數，所以無極值點

②當a＞0時，△=9a2﹣8a，

若0＜a≤ 時△≤0，g（x）≥0，故f'（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上遞增，所以無極值點．

若a＞ 時△＞0，設g（x）=0的兩個不相等的實數根為x1，x2，且x1＜x2，

且 ，而g（0）=1＞0，則 ，

所以當x∈（0，x1），g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

當x∈（x1，x2），g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x∈（x2，+∞），g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．

所以此時函數f（x）有兩個極值點；

③當a＜0時△＞0，設g（x）=0的兩個不相等的實數根為x1，x2，且x1＜x2，

但g（0）=1＞0，所以x1＜0＜x2，

所以當x∈（0，x2），g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）單調遞増；

當x∈（x2，+∞），g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．

所以此時函數f（x）只有一個極值點．

綜上得：

當a＜0時f（x）有一個極值點；

當0≤a≤ 時f（x）的無極值點；

當a＞ 時，f（x）的有兩個極值點

（3）解：方法一：當0≤a≤ 時，由（2）知f（x）在[1，+∞）上遞增，

所以f（x）≥f（1）=0，符合題意；

當 ＜a≤1時，g（1）=1﹣a≥0，x2≤1，f（x）在[1，+∞）上遞增，所以f（x）≥f（1）=0，符合題意；

當a＞1時，g（1）=1﹣a＜0，x2＞1，所以函數f（x）在（1，x2）上遞減，所以f（x）＜f（1）=0，不符合題意；

當a＜0時，由（1）知lnx≤x﹣1，于是f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2）≤x﹣1+a（x2﹣3x+2）

當 時，x﹣1+a（x2﹣3x+2）＜0，此時f（x）＜0，不符合題意．

綜上所述，a的取值范圍是0≤a≤1．

方法二：g（x）=2ax2﹣3ax+1，注意到對稱軸為 ，g（1）=1﹣a，

當0≤a≤1時，可得g（x）≥0，故f（x）在[1，+∞）上遞增，所以f（x）≥f（1）=0，符合題意；

當a＞1時，g（1）=1﹣a＜0，x2＞1，所以函數f（x）在（1，x2）上遞減，此時f（x）＜f（1）=0，不符合題意；

當a＜0時，由（1）知lnx≤x﹣1，于是f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2）≤x﹣1+a（x2﹣3x+2）

當 時，x﹣1+a（x2﹣3x+2）＜0，此時f（x）＜0，不符合題意．

綜上所述，s的取值范圍是0≤a≤1

【解析】（1）根據導數的幾何意義，求得切線的斜率，利用點斜式方程，即可求得函數f（x）在x=1處的切線方程；（2）求導，分類討論，根據導數與函數單調性及極值的關系，分別求得函數f（x）極值點的個數；（3）方法一：由（2）可知：分類討論，根據函數的單調性，求得f（x）的最值，即可求得a的取值范圍； 方法二：設g（x）=2ax2﹣3ax+1，根據二次函數的性質，分類討論，即可求得實數a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的函數的極值與導數，需要了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．