Question

【題目】在數列{an}中，an=cos （n∈N*）
（1）試將an+1表示為an的函數關系式；
（2）若數列{bn}滿足bn=1﹣ （n∈N*），猜想an與bn的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解： = ═ ∴

∴

又n∈N*，n+1≥2，an+1＞0∴

（2）解：當n=1時， ，b1=1﹣2=﹣1，∴a1＞b1

當n=2時， ， ，∴a2=b2

當n=3時， ， ，∴a3＜b3

猜想：當n≥3時，an＜bn，

下面用數學歸納法證明：

證：①當n=3時，由上知，a3＜b3，結論成立．

②假設n=k，k≥3，n∈N*時，ak＜bk成立，即

則當n=k+1， = ，

要證ak+1＜bk+1，即證明

即證明

即證明

即證明 ，顯然成立．

∴n=k+1時，結論也成立．

綜合①②可知：當n≥3時，an＜bn成立．

綜上可得：當n=1時，a1＞b1；當n=2時，a2=b2

當n≥3，n∈N*時，an＜bn

【解析】（1）利用數列的通項公式化簡求解遞推關系式即可．（2）通過當n=1時，當n=2時，當n=3時，計算結果猜想：當n≥3時，an＜bn ， 然后利用數學歸納法的坐標方法證明即可．
【考點精析】關于本題考查的歸納推理和數學歸納法的定義，需要了解根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法才能得出正確答案．