Question

已知點M 在橢圓D ：上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點，若圓M與y軸相交于A，B兩點，且△ABM是邊長為的正三角形，
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）設P是橢圓D上的一點，過點P的直線l交x軸于點F（-1，0），交y軸于點Q，若，求直線l的斜率；
（Ⅲ）過點G（0，-2）作直線GK與橢圓N：左半部分交于H，K兩點，又過橢圓N的右焦點F₁做平行于HK的直線交橢圓N于R，S兩點，試判斷滿足的直線GK是否存在？請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）因為是邊長為的正三角形，
所以圓M的半徑，M到y軸的距離為，
即橢圓的半焦距，
此時點的坐標為，
因為點在橢圓：上，
所以，
又，
解得：，
所求橢圓D的方程為。
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，
設直線斜率為k，直線l的方程為，
則有，
設，由于P、Q、F三點共線，且，
根據題意得，
解得，
又P在橢圓D上，
故，解，
綜上，直線l的斜率為。
（Ⅲ）由（Ⅰ）得：橢圓N的方程為…①，
由于，
設直線GK的方程為…②，
則直線RS的方程為…③
設，
聯立①②消元得：，
所以，
所以， 
設，
聯立①③消元得：，
所以，，，
，
由，化簡得：，
顯然無解，
所以滿足的直線GK不存在。