Question

設函數f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx．
（I）若x=1是f（x）的極大值點，求a的取值范圍；
（II）當a=0，b=-1時，方程2mf（x）=x²中唯一實數解，求正數m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx，知x＞0，f′(x)=

1

x

-ax-b，由f′（x）=0，得b=1-a，故f′(x)=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

．由此能求出a的取值范圍．
（Ⅱ）由方程2mf（x）=x²中唯一實數解，知x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數解，設g（x）=x²-2mlnx-2mx，則g′(x)=

2x2-2mx-2m

x

，令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．由此入手能夠推導出正數m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx，
∴x＞0，f′(x)=

1

x

-ax-b，
由f′（x）=0，得b=1-a，
∴f′(x)=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

．
①若a≥0，由f′（x）=0，得x=1，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增；
當x＞1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減，所以x=1是f（x）的極大值點．
②若a＜0，則f′（x）=0，得x=1，或x=-

1

a

，
∵x=1是f（x）的極大值點，
∴-

1

a

＞1，解得-1＜a＜0．
綜合①②，得a的取值范圍是a＞-1．
（Ⅱ）∵方程2mf（x）=x²中唯一實數解，
∴x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數解，
設g（x）=x²-2mlnx-2mx，
則g′(x)=

2x2-2mx-2m

x

，
令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．
∵m＞0，∴△=m²+4m＞0，
方程有兩異號根，設為x₁0，
∵x＞0，∴x₁應舍去．
當x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調遞減，
當x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上單調遞增，
當x=x₂時，g′（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0，
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x22-2mlnx2-2mx2=0 x2 2-mx2-m=0

，
∴2mlnx₂+mx₂-m=0，
∵m＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0（*），
設函數h（x）=2lnx+x-1，
∵當x＞0時，h（x）是增函數，
∴h（x）=0至多有一解，
∵h（1）=0，
∴方程（*）的解為x₂=1，
代入方程組解得m=

1

2

．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．