Question

（Ⅰ）設函數f(x)=ln(1+x)-

2x

x+2

，證明：當x＞0時，f（x）＞0．
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續抽取20次，設抽到的20個號碼互不相同的概率為p，證明：p＜(

9

10

)19＜

1

e2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證明當x＞0時，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函數的單調性，只須證明f（x）在[0，+∞）上是單調增函數即可．先對函數進行求導，根據導函數大于0時原函數單調遞減即可得到答案．
（Ⅱ）先計算概率P=

A 100 20

10020

，再證明

A 100 20

10020

100×99×…×81

10020

(

9

10

)19

100

90

(

90

100

)20，即證明99×98×…×81＜（90）¹⁹，最后證明(

9

10

)19＜e^-2，即證(

10

9

)19＞e²，即證19ln

10

9

＞2，即證ln

10

9

2

19

，而這個結論由（1）所得結論可得

解答：（Ⅰ）證明：∵f′（x）=

1

1+x

-

2(x+2)-2x

(x+2)2

=

x2

(x+2) 2(x+1)

，
∴當x＞-1，時f′（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，
∴當x＞0時，f（x）＞f（0）=0．
即當x＞0時，f（x）＞0．
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，連續抽取20次，則抽得的20個號碼互不相同的概率為P=

A 20 100

10020

，要證P＜(

9

10

)19＜

1

e2

．
先證：P=

A 20 100

10020

＜(

9

10

)19，即證

100×99×…×81

10020

＜

100

90

(

90

100

)20
即證99×98×…×81＜（90）¹⁹
而99×81=（90+9）×（90-9）=90²-9²＜90²
98×82=（90+8）×（90-8）=90²-8²＜90²…
91×89=（90+1）×（90-1）=90²-1²＜90²
∴99×98×…×81＜（90）¹⁹
即P＜(

9

10

)19
再證：(

9

10

)19＜e^-2，即證(

10

9

)19＞e²，即證19ln

10

9

＞2，即證ln

10

9

＞

2

19

由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）-

2x

x+2

，當x＞0時，f（x）＞0．
令x=

1

9

，則ln（1+

1

9

）-

2• 1 9

2+ 1 9

=ln（1+

1

9

）-

2

19

＞0，即ln

10

9

＞

2

19

綜上有：P＜(

9

10

)19＜

1

e2

點評：本題主要考查函數單調性的應用、函數的單調性與導數的關系等，考查運算求解能力，函數、導數、不等式證明及等可能事件的概率等知識．通過運用導數知識解決函數、不等式問題，考查了考生綜合運用數學知識解決問題的能力．