Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx﹣ x2﹣x+a（a∈R）．
（1）當a=0時，求f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在其定義域內有兩個不同的極值點．
（ⅰ）求a的取值范圍；
（ⅱ）設兩個極值點分別為x1 ， x2 ， 證明：x1x2＞e2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時，f（x）=xlnx﹣x．

函數f（x）的定義域為x＞0，f'（x）=lnx；

當x＞1時，f'（x）＞0；當0＜x＜1時，f'（x）＜0．

所以，f（x）在（0，1）上單調遞減；在（1，+∞）上單調遞增．

（2）解：（ⅰ）依題意，函數f（x）的定義域為x＞0，f'（x）=lnx﹣ax

所以方程f'（x）=0在x＞0上有兩個不同根，即：

方程lnx﹣ax=0在x＞0上有兩個不同根，轉化為：函數y=lnx與函數y=ax

的圖象在x＞0上有兩個不同交點，如圖．

可見，若令過原點且切于函數y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k．

令切點A（x0，lnx0），所以k= ，又k= ，所以 ，

解得：x0=e，于是k= ，

所以，0＜a＜ ．

（ⅱ）由（i）可知x1，x2分別是方程lnx﹣ax=0的兩個根，

即lnx1=ax1，lnx2=ax2，

不妨設x1＞x2，作差得，ln =a（x1﹣x2），即a= ．

原不等式

等價于

令 ，則t＞1，

設 ， ，

∴函數g（t）在（1，+∞）上單調遞增，

∴g（t）＞g（1）=0，

即不等式 成立，

故所證不等式 成立．

【解析】（1）對f（x）求導，利用導數來判斷f（x）的圖形單調性；（2）（i）函數f（x）在其定義域內有兩個不同的極值點轉化為：方程lnx﹣ax=0在x＞0上有兩個不同根．（ii）x1 ， x2分別是方程lnx﹣ax=0的兩個根，即lnx1=ax1 ， lnx2=ax2；不妨設x1＞x2 ， 作差得，ln =a（x1﹣x2），即a= ．原不等式 等價于 ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．