Question

（1）已知直線m平行于直線l：x+y=0，且m與l的距離是

2

，求直線m的方程；
（2）求經過兩點A（1，4）、B（3，2），且圓心在直線y=0上的圓的標準方程．

Answer 1

分析：（1）設出直線m的一般式方程，根據兩平行線的距離公式表示出直線l與直線m的距離，讓距離等于

2

列出關于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值，進而得到直線m的方程；
（2）根據垂徑定理可知AB的垂直平分線過圓心，所以利用A和B的坐標表示出過A和B的直線的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，求出AB垂直平分線的斜率，然后根據中點坐標公式求出AB的中點坐標，根據中點坐標和求出的斜率寫出AB的垂直平分線的方程，與y=0聯立即可求出圓心的坐標，然后利用兩點間的距離公式求出圓心到點A的距離即為圓的半徑，根據圓心和半徑寫出圓的標準方程即可．

解答：解：（1）設直線m：x+y+λ=0，
由直線m平行于直線l，且m與l的距離是

2

，
則

|λ|

1+1

=

2

，解得：λ=±2，
所以直線m：x+y+2=0或x+y-2=0；
（2）設線段AB的坐標為C，則C的坐標為（

1+3

2

，

4+2

2

）即（2，3），
過A與B的直線方程的斜率為

4-2

1-3

=-1，所以AB的垂直平分線的斜率為1，
則AB的垂直平分線的方程為：y-3=x-2即x-y-1=0，
又圓心在y=0上，所以聯立得：

y=0 x-y-1=0

，得到圓心坐標為（-1，0），
而圓的半徑r=

(1+1)2+(4-0)2

=2

5

，
故圓的方程為：（x+1）²+y²=20．

點評：此題考查學生掌握兩平行線間的距離公式以及兩直線垂直時斜率的關系，靈活運用中點坐標公式及兩點間的距離公式化簡求值，是一道綜合題．