Question

已知直線m：2x-y-3=0，n：x+y-3=0．
（Ⅰ）求過兩直線m，n交點且與直線x+3y-1=0平行的直線方程；
（Ⅱ）直線l過兩直線m，n交點且與x，y正半軸交于A、B兩點，△ABO的面積為4，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出兩直線m，n交點，直線x+3y-1=0平行的斜率，然后求出直線方程；
（Ⅱ）方法一：求出直線l過兩直線m，n交點，與x，y正半軸交于A、B兩點，利用△ABO的面積為4，求出直線的斜率，然后求直線l的方程．
方法二：設出截距式方程，利用三角形的面積，求出直線方程．

解答：解：（Ⅰ）由

2x-y-3=0 x+y-3=0

，得

x=2 y=1

，所以m，n的交點為（2，1）…（3分）
又所求直線與x+3y-1=0平行，所以所求直線的斜率為-

1

3

，…（5分）
所求直線方程為y=-

1

3

(x-2)+1即y=-

1

3

x+

5

3

　　　　　　　…（7分）
（Ⅱ）方法一：由題可知，直線l的斜率k存在，且k＜0．
則直線l的方程為y=k（x-2）+1=kx-2k+1令x=0，得y=1-2k＞0
令y=0，得x=

2k-1

k

＞0
所以S△OAB=

1

2

(1-2k)

2k-1

k

=4，解得k=-

1

2

　　　　　…（13分）
所以l的方程為y=-

1

2

(x-2)+1=-

1

2

x+2　　　　　…（14分）
方法二：由題可知，直線l的橫、縱截距a、b存在，且a＞0、b＞0，則l：

x

a

+

y

b

=1
又l過點（2，1），△ABO的面積為4
所以

2 a + 1 b =1 1 2 ab=4

，…（10分）
解得

a=4 b=2

，…（13分）
所以l方程為

x

4

+

y

2

=1即y=-

1

2

x+2．　　　　…（14分）

點評：本題考查兩條直線的交點坐標，直線的方程的求法，考查計算能力．