Question

已知f(n)=(2n+7)3ⁿ+9,存在自然數m,使得對任意正整數n,都能使m整除f(n)，猜測出最大的m的值。并用數學歸納法證明你的猜測是正確的。

Answer 1

m值等于36

本試題主要考查了歸納猜想的運用，以及數學歸納法的證明。
∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除
然后證明n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，
f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，則n=k+1時，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1?－(2k+7)·3^k=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k
=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k－2?(k≥2) 證明得到。解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 
證明 n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，
f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，則n=k+1時，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1?－(2k+7)·3^k=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k
=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k－2?(k≥2) f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的數整除，∴所求最大的m值等于36