Question

（本題滿分12分）已知函數(shù)，
其中（且 
⑴求函數(shù)的定義域；
⑵判斷函數(shù)的奇偶性，并予以證明；     
⑶判斷它在區(qū)間（0,1）上的單調(diào)性并說(shuō)明理由。

Answer 1

⑴ ；⑵
⑶區(qū)間（0,1）上為單調(diào)遞增函數(shù)。

(1)函數(shù)f(x)+g(x)的定義域應(yīng)該是f(x),g(x)定義域的交集即,
，所以，即所求函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1).
(2)由（1）知其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得,
然后再根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷出H(-x)=-H(x),從而可知為奇函數(shù)。
(3)利用單調(diào)性的定義第一步取值：任取且；
第二步：作差變形判斷的符號(hào)，再判斷時(shí)要利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，
第三步：得出結(jié)論。
⑴ 由題意得：
所以所求定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234727434766.png" style="vertical-align:middle;" />
⑵ 令
則


⑶，
任取且，則，
則
，，
在區(qū)間（0,1）上為單調(diào)遞增函數(shù)。