Question

【題目】已知動點G(x,y)滿足

（1）求動點G的軌跡C的方程；

（2）過點Q(1,1)作直線L與曲線交于不同的兩點,且線段中點恰好為Q.求的面積；

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先由橢圓的定義得知軌跡為橢圓，并利用橢圓定義求出，從已知條件中得出，并求出值，結合橢圓焦點位置得出橢圓的標準方程；

（2）由已知條件得知直線的斜率存在，并設直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由為的中點求出的值，從而得出直線的方程，再利用弦長公式求出，由點到直線的距離公式計算出原點到直線的距離，再利用三角形的面積公式可求出的面積。

（1）由動點滿足可知，

動點的軌跡是以和為焦點，長軸長為的橢圓，其方程為；

（2）由于直線與曲線相交所得線段中點恰好為可知，

直線的斜率一定存在，設直線的方程為，

聯立，消去可得，

所以，

又線段中點的橫坐標為1，，解得，

， 直線的方程為，

弦長，原點到直線的距離為，

。