Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果x∈R，使得f（x）＜2成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a=﹣1，f（x）≥3，

即為|x﹣1|+|x+1|≥3，

當x≤﹣1時，1﹣x﹣x﹣1≥3，即有x≤﹣ ；

當﹣1＜x＜1時，1﹣x+x+1=2≥3不成立；

當x≥1時，x﹣1+x+1=2x≥3，解得x≥ ．

綜上可得，f（x）≥3的解集為（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）

（2）解：x∈R，使得f（x）＜2成立，

即有2＞f（x）min，

由函數f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|x﹣1﹣x+a|=|a﹣1|，

當（x﹣1）（x﹣a）≤0時，取得最小值|a﹣1|，

則|a﹣1|＜2，

即﹣2＜a﹣1＜2，

解得﹣1＜a＜3．

則實數a的取值范圍為（﹣1，3）

【解析】（1）由題意可得|x﹣1|+|x+1|≥3，討論當x≤﹣1時，當﹣1＜x＜1時，當x≥1時，去掉絕對值解不等式，最后求并集；（2）由題意可得2＞f（x）min ， 運用絕對值不等式的性質，可得f（x）的最小值，再由絕對值不等式的解法，可得a的范圍．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．