Question

設a、b、c分別為△ABC的三內角A、B、C所對的邊，則a²=b（b+c）是A=2B的（　�。�

• A、充要條件
• B、充分而不必要條件
• C、必要而不充分條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：先假設a²=b（b+c）成立，通過正弦定理和二倍角公式可證A=2B成立，所以是充分條件；
若A=2B同樣通過正弦定理和二倍角公式可證a²=b（b+c）成立，故必要，所以是充要條件．

解答：解：設a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若a²=b（b+c），
則sin²A=sinB（sinB+sinC），
則

1-cos2a

2

=

1-cos2B

2

+sinBsinC，
∴

1

2

(cos2B-cos2A)=sinBsinC，sin（B+A）sin（A-B）=sinBsinC，
又sin（A+B）=sinC，
∴sin（A-B）=sinB，
∴A-B=B，A=2B，
若△ABC中，A=2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，
得到a²=b（b+c），
所以a²=b（b+c）是A=2B的充要條件，
故選A．

點評：本題主要考查充分、必要條件的判定和正弦定理、二倍角公式的應用．這里一定要熟練掌握三角函數的所有公式才能做到游刃有余．