Question

【題目】已知等差數列{an}的公差d不等于0，Sn是其前n項和，給出下列命題：
①給定n（n≥2，且n∈N*），對于一切k∈N*（k＜n），都有an﹣k+an+k=2an成立；
②存在k∈N* ， 使得ak﹣ak+1與a2k+1﹣a2k﹣3同號；
③若d＞0．且S3=S8 ， 則S5與S6都是數列{Sn}中的最小項
④點（1， ），（2， ），（3， ），…，（n， ）（n∈N*），…，在同一條直線上．
其中正確命題的序號是 ． （把你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：對于①，由等差中項的性質，可得給定n，對于一切k∈N+（k＜n），都有an﹣k+an+k=2an ， 故①正確；
對于②，ak﹣ak+1和ak﹣ak﹣1符號相反，故②不正確；
對于③，當d＞0，且S3=S8時，可得a1＜0，a4+a5+a6+a7+a8=0，即5a6=0，a6=0，
則S5和S6都是{Sn}中的最小項，故③正確；
對于④，因為等差數列{an}的公差d≠0，所以Sk=ka1+ ， =a1+ d
當k≥2（k∈N）時， = = d（d為常數），
所以點（1， ），（2， ），（3， ），…，（n， ）（n∈N*），…，在同一條直線上，故④正確．
所以答案是：①③④．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系，以及對等差數列的性質的理解，了解在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列．