Question

【題目】已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的中垂線交于點(diǎn).

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若動(dòng)直線與圓相切，且與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

（1）由題意可得則由橢圓的定義可得軌跡方程.

（2）先考慮動(dòng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，由直線l與圓O相切，利用根的判別式求出k與m的關(guān)系，由弦長公式、三角形面積公式，結(jié)合換元法利用二次函數(shù)求最值的方法能求出△OEF面積的最大值，再考慮斜率不存在時(shí)，可直接求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得面積，比較后得到結(jié)論．

（1）由題知，

的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為.

（2）①當(dāng)的斜率存在時(shí).設(shè) 的方程為

由得:

可得 與圓相切，

從而，

令，得

.

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).

.

②當(dāng)的斜率不存在時(shí).易得的方程為或.此時(shí)

.

由①②可得:的最大值為.