Question

已知函數(shù)（ω＞0），直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為．
（I）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)f（x）的解析式化為，根據(jù)周期求出ω=2，從而得到．
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移個(gè)個(gè)單位后，得到 y==的圖象，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到的圖象，可得
，函數(shù)y=g（x）與y=-k在區(qū)間上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由正弦函數(shù)的圖象可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ） ，-------（3分）
由題意知，最小正周期，又，所以ω=2，
∴．-------------（6分）
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移個(gè)個(gè)單位后，得到 y==的圖象，
再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，．---------（9分）
令，∵，∴，g（x）+k=0，在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
即函數(shù)y=g（x）與y=-k在區(qū)間上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由正弦函數(shù)的圖象可知或-k=1
∴，或k=-1．--------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性和求法，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．