Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為，若（），則稱是“緊密數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列是“緊密數(shù)列”，其前5項依次為，求的取值范圍；

（2）若數(shù)列的前項和為（），判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由；

（3）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，若與都是“緊密數(shù)列”，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) 是“緊密數(shù)列”(3)

【解析】試題分析：

（1）由題意得到關(guān)于x的不等式組，求解不等式組可得.

（2）由題意可得．則，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)討論可得，則是“緊密數(shù)列”．

（3）由題意， 是“緊密數(shù)列”，所以．分類討論：

①當(dāng)時數(shù)列為“緊密數(shù)列”， 滿足題意．

②當(dāng)時，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式有，對任意恒成立．討論可得：（ⅰ）當(dāng)時，滿足題意；（ⅱ）當(dāng)時， 不存在．

則的取值范圍是．

試題解析：

（1）由題意得： ，所以.

（2）由數(shù)列的前項和，

得．

所以， ，

因為對任意， ，即，所以， ，

即是“緊密數(shù)列”．

（3）由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，得，

因為是“緊密數(shù)列”，所以．

①當(dāng)時， ，因為，

所以時，數(shù)列為“緊密數(shù)列”，故滿足題意．

②當(dāng)時， ，則，因為數(shù)列為“緊密數(shù)列”，

所以，對任意恒成立．

（ⅰ）當(dāng)時， ，

即，對任意恒成立．

因為， ， ，

所以， ，

所以，當(dāng)時， ，對任意恒成立．

（ⅱ）當(dāng)時， ,即，對任意

恒成立．因為．所以，解得，

又，此時不存在．

綜上所述， 的取值范圍是．