Question

設命題p：|4x-3|≤1，命題q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若“￢p⇒￢q”為假命題，“￢q⇒￢p”為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

由|4x-3|≤1，得：-1≤4x-3≤1，解得：

1

2

≤x≤1，
因此，滿足命題p的x的取值集合為{x|

1

2

≤x≤1}，則滿足命題￢p的x的取值集合為{x|x＜

1

2

，或x＞1}；
由x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，得：（x-a）[x-（a+1）]≤0，解得：a≤x≤a+1．
因此，滿足命題q的x的取值集合為{x|a≤x≤a+1}，則滿足命題￢q的x的取值集合為{x|x＜a，或x＞a+1}；
由“￢p⇒￢q”為假命題，“￢q⇒￢p”為真命題，
得，{x|x＜a，或x＞a+1}⊆{x|x＜

1

2

，或x＞1}．
因此

a≤ 1 2 a+1≥1

，解得a∈[0，

1

2

]．
所以，所求實數a的取值范圍是[0，

1

2

]．