Question

（2007•閘北區一模）如圖：過點P（0，2）做直線交拋物線x²=2y于A，B兩點，O為坐標原點．
（1）求證：OA⊥OB．
（2）求△OAB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）直線AB：y=kx+2與拋物線x²=2y聯立，求出OA，OB的斜率，利用韋達定理可得結論；
（2）根據S_△OAB=S_△OAP+S_△OBP，表示出面積，得出S_△OAB=2

k2+4

，即可得到結論．

解答：證明：（1）由題意，設直線AB：y=kx+2，與拋物線x²=2y聯立，可得x²-2kx-4=0
設A點坐標為（x₁，y₁），B點坐標為（x₂，y₂），
則直線OA的斜率為k_OA=

y1

x1

，直線OB的斜率為k_OB=

y2

x2

，
因為x₁，x₂是方程x²-2kx-4=0得兩個解，根據韋達定理得x₁+x₂=2k，x₁x₂=-4
∴k_OAk_OB=

y1y2

x1x2

=

(kx1+2)(kx2+2)

x1x2

=

k2x1x2+2k(x1+x2)+4

x1x2

=

-4k2+2k•2k+4

-4

=-1
所以OA⊥OB；
（2）S_△OAB=S_△OAP+S_△OBP=

1

2

|OP||x₁|+

1

2

|OP||x₂|=

1

2

|OP||x₂-x₁|=2

k2+4

，
∴當k=0時，△OAB面積最小，最小值為4．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．