Question

公差d≠0的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知，．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n及其前n項和S_n；
（2）記，若自然數η₁，η₂，…，η_k，…滿足1≤η₁＜η₂＜…＜η_k＜…，并且成等比數列，其中η₁=1，η₂=3，求η_k（用k表示）；
（3）記，試問：在數列{c_n}中是否存在三項c_r，c_s，c_t（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比數列？若存在，求出此三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，，
∴d=2
所以，

（2）由題意，b_n=2n，首項b₁=2，
又數列的公比
∴，
又，
∴η_k=3 ^k﹣1
（3）易知，假設存在三項c_r，c_s，c_t成等比數列，則
c_s²=c_rc_t，
即，
整理得
①當2s﹣r﹣t≠0時，，
∵r，s，t∈N*，
∴是有理數，
這與為無理數矛盾
②當2s﹣r﹣t=0時，則rt+r+t﹣s²﹣2s=0，從而
，
解得r=t，這與r＜t矛盾．
綜上所述，不存在滿足題意的三項c_r，c_s，c_t