Question

公差d≠0的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a1=2+

2

，S3=12+3

2

．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n及其前n項和S_n；
（Ⅱ）記bn=an-

2

，若自然數η₁，η₂，…，η_k，…滿足1≤η₁＜η₂＜…＜η_k＜…，并且bη1，bη2，…，bη_，…成等比數列，其中η₁=1，η₂=3，求η_k（用k表示）；
（Ⅲ）記cn=

Sn

n

，試問：在數列{c_n}中是否存在三項c_r，c_s，c_t（r＜s＜t，r，s，t∈N^*）恰好成等比數列？若存在，求出此三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a₁代入S₃，求得d，進而根據等差數列的通項公式和求和公式求得a_n及其前n項和S_n．
（Ⅱ）把（1）中求得的a_n代入bn=an-

2

求得b_n，進而求得

b3

b1

，即數列bη1，bη2，，bη_，的公比，根據等比數列的通項公式求得bηk，進而根據bηk=2ηk求得η_k．
（Ⅲ）根據（1）中求得的S_n求得c_n，假設存在三項c_r，c_s，c_t成等比數列，則c_s²=c_r•c_t，把c_n代入整理得(2s-r-t)

2

=rt+r+t-s2-2s進而看當2s-r-t≠0時看

rt+r+t-s2-2s

2s-r-t

是否有可能相等，當2s-r-t=0時，r和t的關系，進而判斷假設是否成立．

解答：解：（Ⅰ）∵a1=2+

2

，S3=3a1+3d=12+3

2

，∴d=2
所以an=2n+

2

，Sn=n2+(

2

+1)n
（Ⅱ）由題意，b_n=2n，首項b₁=2，又數列bη1，bη2，，bη_，
的公比q=

b3

b1

=3
∴bηk=2•3k-1，又bηk=2ηk，∴η_k=3^k-1
（Ⅲ）易知cn=n+

2

+1，假設存在三項c_r，c_s，c_t成等比數列，則c_s²=c_r•c_t，
即[s+(

2

+1)]2=[r+(

2

+1)][t+(

2

+1)]，
整理得(2s-r-t)

2

=rt+r+t-s2-2s
①當2s-r-t≠0時，

2

=

rt+r+t-s2-2s

2s-r-t

，
∵r，s，t∈N^*，∴

rt+r+t-s2-2s

2s-r-t

是
有理數，這與

2

為無理數矛盾
②當2s-r-t=0時，則rt+r+t-s²-2s=0，從而

s2=rt 2s-r-t=0

，
解得r=t，這與r＜t矛盾．
綜上所述，不存在滿足題意的三項c_r，c_s，c_t

點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的性質．考查了學生綜合分析問題和運算的能力．