Question

設橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂．點P（a，b）滿足|PF₂|=|F₁F₂|．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）設直線PF₂與橢圓相交于A，B兩點，若直線PF₂與圓（x+1）²+=16相交于M，N兩點，且|MN|=|AB|，求橢圓的方程．

Answer 1

（1）（2）+=1

試題分析：（1）直接利用|PF₂|=|F₁F₂|，對應的方程整理后即可求橢圓的離心率e；
（2）先把直線PF₂與橢圓方程聯立求出A，B兩點的坐標以及對應的|AB|兩點，進而求出|MN|，再利用弦心距，弦長以及圓心到直線的距離之間的等量關系，即可求橢圓的方程．
解：（1）設F₁（﹣c，0），F₂（c，0）   （c＞0）．
由題得|PF₂|=|F₁F₂|，即=2c，整理得2+﹣1=0，得=﹣1（舍），或=，
所以e=．
（2）由（1）知a=2c，b=c，可得橢圓方程為3x²+4y²=12c²，直線方程PF₂為y=（x﹣c）．
A，B的坐標滿足方程組，
消y并整理得5x²﹣8xc=0，
解得x=0，x=，得方程組的解為，，
不妨設A（c，c），B（0，﹣c）．
所以|AB|==c，于是|MN|=|AB|=2c．
圓心（﹣1，）到直線PF₂的距離d=，
因為d²+=4²，所以（2+c）²+c²=16，整理得c=﹣（舍）或c=2．
所以橢圓方程為+=1．
點評：本題主要考查橢圓的方程和幾何性質，直線的方程，兩點間的距離公式以及點到直線的距離公式等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質和數形結合的數學思想，考查解決問題的能力和運算能力．