Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線經(jīng)過、兩點(diǎn)
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，且線段被圓：三等分，求實(shí)數(shù)、的值

Answer 1

（1）；（2）， 

試題分析：（1）求雙曲線的方程，可設(shè)雙曲線的方程是，利用待定系數(shù)法求出的值即可，由雙曲線經(jīng)過、兩點(diǎn)，將、代入上面方程得，，解方程組，求出的值，即可求出雙曲線的方程；（2）求實(shí)數(shù)、的值，直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，且線段被圓：三等分，可知圓心與的中點(diǎn)垂直，設(shè)的中點(diǎn)，則，而圓心，因此只需找出的中點(diǎn)與的關(guān)系，可將代人，得，設(shè)，利用根與系數(shù)關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，這樣可求得的值，由的值可求出的長(zhǎng)，從而得圓的弦長(zhǎng)，利用勾股定理可求得的值
試題解析：（1）設(shè)雙曲線的方程是，依題意有   2分
解得   3分 所以所求雙曲線的方程是      4分
（2）將代人，得 （*）
               6分
設(shè)，的中點(diǎn)，則
，                   7分
則，，       8分
又圓心，依題意，故，即     9分
將代人（*）得，解得
                   10分
故直線截圓所得弦長(zhǎng)為，又到直線的距離  11分
所以圓的半徑
所以圓的方程是                12分
，                        13分