Question

已知圓C經(jīng)過點A（1，0）和B（2，1），且圓心C在直線y=2x-4上．
（1）求圓C的方程；
（2）從點T（3，2）向圓C引切線，求切線長和切線方程；
（3）若點P（a，b）在圓C上，試求a²+（b-2）²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)圓心C（a，2a-4），由AC=BC=r可得（1-a）²+（2a-4）²=（2-a）²+（2a-5）²，解出a可求圓的方程
（2）設(shè)TM，TN分別為圓的切線，在Rt△TCM中，可求TC，r由TM=TN=

TC2-r2

可求
由題意可得直線x=3與該圓相切，設(shè)過T的切線的斜率為k，則切線方程為y-2=k（x-3）即kx-y+2-3k=0，由直線與圓相切可得，

|2k+2-3k|

1+k2

=1 可求k，進(jìn)而可得過T的切線方程（3）（3）設(shè)E（0，2）則PE=

a2+(b-2)2

，連接EC與圓交與兩點分別記為P₁，P₂，，則可知當(dāng)P在位置P₁時，PE=EC-r最小，當(dāng)點P在P₂時，PE=EC+r最大，從而可求a²+（b-2）²的取值范圍

解答：解：（1）由題意可設(shè)圓心C（a，2a-4）
∵AC=BC=r
∴（1-a）²+（2a-4）²=（2-a）²+（2a-5）²
∴a=2，C（2，0），半徑r=1
∴圓的方程為（x-2）²+y²=1
（2）如圖所示TM，TN分別為圓的切線
Rt△TCM中，TC=

(3-2)2+(2-0)2

=

5

，r=1
∴TM=TN=

5-1

=2即切線長為2
由題意可得直線x=3與該圓相切
設(shè)過T的切線的斜率為k，則切線方程為y-2=k（x-3）即kx-y+2-3k=0
由直線與圓相切可得，

|2k+2-3k|

1+k2

=1∴k=

3

4

故過T的切線方程分別為x=3或3x-4y-1=0
（3）設(shè)E（0，2）則PE=

a2+(b-2)2

連接EC與圓交與兩點分別記為P₁，P₂，如圖所示
則可知當(dāng)P在位置P₁時，PE=EC-1=2

2

-1最小，當(dāng)點P在P₂時，PE=EC+1=2

2

+1最大
∴a²+（b-2）²的取值范圍為：[9-4

2

，9+4

2

]

點評：本題主要考查了利益圓的性質(zhì)求解圓的方程，考查了圓的切線長的性質(zhì)及切切方程的求解（注意斜率不存在的情況的考慮）解（3）的關(guān)鍵是結(jié)合幾何意義轉(zhuǎn)化為求解距離的最大與最小值問題．