Question

設拋物線過定點A（2，0），且以直線x=-2為準線．
（1）求拋物線頂點的軌跡C的方程；
（2）已知點B（0，-5），軌跡C上是否存在滿足

MB

•

NB

=0的M、N兩點？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由題意要先求出拋物線的焦點，再有定義法這一常見的求動點的軌跡的方法求解拋物線的頂點的軌跡方程，同時要注意方程求解后的排雜這一過程；
（2）由（1）知道軌跡C為焦點在y軸的標準橢圓，由于過定點，過設斜率，要分斜率不存在與存在兩種情況加以討論，寫出直線方程與橢圓方程進行聯立進而求解．

解答：解：（1）設拋物線頂點P（x，y），則拋物線的焦點F（2x+2，y），
由拋物線的定義可得

(2x+2-2)2+y2

=4．
∴

x2

4

+

y2

16

=1．
∴軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

16

=1（x≠2）．
（2）不存在．證明如下：
過點B（0，-5）斜率為k的直線方程為y=kx-5（斜率不存在時，顯然不符合題意），
由

y=kx-5 x2 4 + y2 16 =1

得（4+k²）x²-10kx+9=0，
由△≥0得k²≥

9

4

．
假設在軌跡C上存在兩點M、N，令MB、NB的斜率分別為k₁、k₂，則|k₁|≥

3

2

，|k₂|≥

3

2

，顯然不可能滿足k₁•k₂=-1，
∴軌跡C上不存在滿足

MB

•

NB

=0的兩點．

點評：（1）此問重點考查了利用定義求動點的軌跡，還考查了拋物線的性質，及求解軌跡方程后學生容易忽視的排雜過程；
（2）此問重點考查了直線與圓錐曲線橢圓的聯立解決有兩交點的問題及向量點積為0的實質是直線垂直的問題．