Question

設拋物線過定點A（2，0），且以直線x=-2為準線．
（1）求拋物線頂點的軌跡C的方程；
（2）已知點B（0，-5），軌跡C上是否存在滿足

MB

•

NB

=0的M、N兩點？證明你的結論．

Answer 1

（1）設拋物線頂點P（x，y），則拋物線的焦點F（2x+2，y），
由拋物線的定義可得

(2x+2-2)2+y2

=4．
∴

x2

4

+

y2

16

=1．
∴軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

16

=1（x≠2）．
（2）不存在．證明如下：
過點B（0，-5）斜率為k的直線方程為y=kx-5（斜率不存在時，顯然不符合題意），
由

y=kx-5 x2 4 + y2 16 =1

得（4+k²）x²-10kx+9=0，
由△≥0得k²≥

9

4

．
假設在軌跡C上存在兩點M、N，令MB、NB的斜率分別為k₁、k₂，則|k₁|≥

3

2

，|k₂|≥

3

2

，顯然不可能滿足k₁•k₂=-1，
∴軌跡C上不存在滿足

MB

•

NB

=0的兩點．