Question

設(shè)a＞0，b＞0，已知函數(shù)f（x）=．
（1）當(dāng)a≠b時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，稱f（x）為a、b關(guān)于x的加權(quán)平均數(shù)．
（1）判斷f（1），f（），f（）是否成等比數(shù)列，并證明f（）≤f（）；
（2）a、b的幾何平均數(shù)記為G．稱為a、b的調(diào)和平均數(shù)，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)a＞b＞0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）見解析

（1）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠﹣1}，
∴當(dāng)a＞b＞0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）（1）計(jì)算得f（1）=，f（）=，f（）=．
∵
∴f（1），f（），f（）成等比數(shù)列，
∵a＞0，b＞0，∴≤
∴f（）≤f（）；
（2）由（1）知f（）=，f（）=，
故由H≤f（x）≤G，得f（）≤f（x）≤f（）．
當(dāng)a=b時(shí)，f（）=f（x）=f（）=f（1）=a，此時(shí)x的取值范圍是（0，+∞），
當(dāng)a＞b時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，這時(shí)有≤x≤，即x的取值范圍為≤x≤；
當(dāng)a＜b時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，這時(shí)有≤x≤，即x的取值范圍為≤x≤．