Question

已知函數f（x）=3sin（2x+

π

6

）-1，
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合；
（3）求函數f（x）的單調遞增區間；
（4）用五點法做出函數f（x）的圖象，并說明該函數的圖象可以由y=sinx的圖象怎樣變換得到？

Answer 1

分析：（1）直接利用周期公式求出函數的周期．
（2）利用正弦函數的最大值，求出函數的最大值，以及取得最大值時x的取值集合．
（3）利用正弦函數的單調增區間，求出函數的單調增區間．
（4）按照“五點法”作圖方法做出函數f（x）的圖象；按照y=sinx橫坐標縮短

1

2

縱坐標不變，再向左平移，縱坐標伸長橫坐標不變，圖象向下平移即可．

解答：解：（1）T=

2π

2

=π
（2）當sin(2x+

π

6

)=1
即2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z
∴x=

π

6

+kπ，k∈Z，
∴y_max=2時，滿足條件的x的集合為{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}
（3）因為2x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]k∈Z，所以x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)，
所以單調遞增區間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)
（4）列表
函數圖象為：

2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 12	π 6	5π 12	2π 3	11π 12
y	-1	1	-1	-3	-1

y=sinx，所有點的橫坐標變為原來的

1

2

倍（縱坐標不變）
y=sin2x，所有點向左平移

π

12

個單位長度
y=sin(2x+

π

2

)，所有點的縱坐標變為原來的2倍（橫坐標不變）
y=2sin(2x+

π

6

)，所有點向下平移1個單位
y=2sin(2x+

π

6

)-1

點評：本題是三角函數的綜合題目，考查三角函數的周期、最值、單調增區間、函數的圖象，圖象的變換，考查學生的綜合素質，計算解題能力．