Question

（本小題滿分12分）
已知函數f（x）＝ln（x＋a）－x2－x在x＝0處取得極值．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）＝－x＋b在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對任意的正整數n，不等式ln<都成立．

Answer 1

（1）  a=1
（2）  ln3 -1≤b<ln2 +
（3）  略

解：(Ⅰ)  =  ，∵x=0時，f(x)取得極值，∴=0，
故 =0，解得a=1.經檢驗a=1符合題意. ……………4分
(Ⅱ)由知，由,得
，令,
則f(x)= +b在[0，2]上恰有兩個不同的實數根等價于φ(x)=0在[0，2]恰有兩個不同實數根．
，
當x∈(O，1)時，，于是在(O，1)上單調遞增；
當x∈(1，2)時，，于是在(1，2)上單調遞減．
依題意有
∴ln3 -1≤b<ln2 +.………………………………………8分
(Ⅲ) 的定義域為{x|x> -1}，
由(Ⅰ)知， 令=0得，x=0或x= (舍去)，
∴當-1<x<0時，>0，f(x)單調遞增； 當x>0時，<0，f(x)單調遞減.
∴f(0)為f(x)在(-1,+∞)上的最大值.
∴f(x)≤ f(0)，故ln(x+1)-x2-x≤0(當且僅當x=0時，等號成立).
對任意正整數n，取x=>0得，ln(+1)< +，
故ln()<.……………………………………12分