Question

已知數列是首項為，公比的等比數列，設.

（1）求證數列的前n項和；
（2）若對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

(1)(2)

試題分析：
(1)已知等比數列的首項與公比,根據等比數列的通項公式即可求的數列的通項公式,帶入即可求出數列的通項公式,不難發現,分別為等比數列與等差數列,則利用錯位相減法即可求出的前n項和.
(2)該問題是個恒成立問題,只需要求出數列的最大值,則需要考查該數列的單調性,不妨設對數列的相鄰兩項做差,不難發現數列的第一與第二項相等,從第三項開始單調遞減,則該數列的最大值為,則m滿足,帶入解二次不等式即可求的的取值范圍.
試題解析：
(1)由題意知，，
所以，
故，
所以          3分
所以
于是
兩式相減得

所以        7分
（2）因為
所以當時，,
當,
所以當時，取最大值是,
又,
所以
即        12分