Question

如圖，在正三角形中，分別為各邊的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，將沿折成正四面體，則四面體中異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值為           ．

Answer 1

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本題考查空間想象能力、考查求異面直線(xiàn)角。在立體幾何中找平行線(xiàn)是解決問(wèn)題的一個(gè)重要技巧，這個(gè)技巧的一個(gè)技巧就是通過(guò)三角形的中位線(xiàn)找平行線(xiàn)，如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線(xiàn)的關(guān)鍵技巧。折成的四面體是正四面體，畫(huà)出立體圖形，根據(jù)中點(diǎn)找平行線(xiàn)，把所求的異面直線(xiàn)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形的內(nèi)角的計(jì)算。
解：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，則∥，故即為所求的異面直線(xiàn)角或者其補(bǔ)角。設(shè)這個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為，在中，,，故。即異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值是。