Question

“5•12”汶川大地震是華人心中永遠的痛！在災后重建中擬在矩形區域ABCD內建一矩形（與原方位一樣）的汶川人民紀念廣場（如圖），另外AEF內部有一廢墟作為文物保護區不能占用，經測量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m，如何設計才能使廣場面積最大？

Answer 1

分析：建立坐標系，確定線段EF的方程，從而可表達出矩形PQCR的面積，利用配方法求出面積的最大值，從而問題得解．

解答：解：建立如圖所示的直角坐標系，則E（30，0），F（0，20），
∴線段EF的方程是

x

30

+

y

20

=1（0≤x≤30）
在線段EF上取點P（m，n），作PQ⊥BC于點Q，PR⊥CD于點R，
設矩形PQCR的面積為S，則S=|PQ|•|PR|=（100-m）（80-n）
又∵

m

30

+

n

20

=1（0≤m≤30），∴n=20（1-

m

30

），
∴S=（100-m）（80-20+

2m

3

）=-

2

3

（m-5）²+

18050

3

（0≤m≤30）
∴當m=5m時，S有最大值，此時

|EP|

|PF|

=

30-5

5

=

5

1

．
故當矩形廣場的兩邊在BC、CD上，一個頂點在線段EF上，且這個頂點分EF成5：1時，廣場的面積最大．

點評：本題考查根據實際問題選擇函數類型，考查配方法求函數的最值，解題的關鍵是正確表達出矩形PQCR的面積．