Question

“5•12”汶川大地震中，受災面積大，傷亡慘重，醫療隊到達后，都會選擇一個合理的位置，使傷員能在最短的時間內得到救治．設有三個鄉鎮，分別位于一個矩形ABCD的兩個頂點A，B及CD的中點P處，AB=10km，BC=5km，現要在該矩形的區域內（含邊界），且與A，B等距離的一點O處建造一個醫療站，記O點到三個鄉鎮的距離之和為y．
（1）設∠BAO=θ（rad），將y表示為θ的函數；
（2）試利用（1）的函數關系式確定醫療站的位置，使三個鄉鎮到醫療站的距離之和最短．

Answer 1

分析：（1）根據題意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函數的關系可推得OP，從而得出y的函數關系式，注意最后要化為最簡形式，確定自變量范圍．
（2）欲確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短也就是最小值問題，（1）中已求出函數關系式，故可以利用導數求解最值，注意結果應與實際情況相符合．

解答：解：（1）：延長PO，交AB于Q，由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
則 OA=

AQ

cosθ

=

5

cosθ

，故 OB=

5

cosθ

，又OP=5-5tanθ，
所以 y=OA+OB+OP=y=

10-5sinθ

cosθ

+5(0≤θ≤

π

4

)；
（2）y′=

-5cosθ•cosθ-(10-5sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

5(2sinθ-1)

cos2θ

，令y′=0得sin θ=

1

2

，因為 0＜θ＜

π

4

，所以θ=

π

6

，當 θ∈(0，

π

6

)時，y′＜0，y是θ的減函數；當 θ∈(

π

6

，

π

4

)時，y′＞0，y是θ的增函數，所以當θ=

π

6

時，ymin=5+5

3

．這時點P位于線段AB的中垂線上，在矩形區域內且距離AB邊

5 3

3

km處．

點評：本小題主要考查函數最值的應用．
①生活中的優化問題，往往涉及到函數的最值，求最值可利用單調性，也可直接利用導數求最值，要掌握求最值的方法和技巧．
②在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設自變量、因變量，建立函數關系式，并確定其定義域，利用求函數最值的方法求解，注意結果應與實際情況相符合．用導數求解實際問題中的最大（小）值時，如果函數在區間內只有一個極值點，那么根據實際意義該極值點也就是最值點．