【題目】已知函數
.
（1）設
，試討論
單調性；
（2）設
，當
時，任意
，存在
，使
，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）當
時，
在
上是增函數，在
和
上是減函數；當
時，在
上是減函數；當
時，在
上是增函數，在
和
上是減函數；（2）
.
【解析】
試題（1）先求出的導數，
，然后在
的范圍內討論
的大小以確定
和
的解集；（2）
時，代入結合上問可知函數在在上是減函數，在
上是增函數，即在
取最小值，若
，存在
，使
，即存在使得
.從而得出實數
的取值范圍.注意
不能用基本不等式，因為
等號取不到，實際上
為減函數.所以其值域為
，從而
，即有
.
試題解析：（1）函數的定義域為，
因為
，所以，
令
，可得
，
，
2分
①當時，由可得
，故此時函數在上是增函數.
同樣可得在和上是減函數. 4分
②當時，
恒成立，故此時函數在上是減函數. 6分
③當時，由可得
，故此時函數在上是增函數，
在和上是減函數； 8分
（2）當時，由（1）可知在上是減函數，在上是增函數，
所以對任意的
，有
，
由條件存在，使，所以
， 12分
即存在，使得
，
即
在時有解,
亦即在時有解,
由于為減函數，故其值域為，
從而，即有，所以實數的取值范圍是. 16分
口算心算速算應用題系列答案
同步拓展閱讀系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】北京時間3月15日下午，谷歌圍棋人工智能
與韓國棋手李世石進行最后一輪較量， 
獲得本場比賽勝利，最終人機大戰總比分定格
.人機大戰也引發全民對圍棋的關注，某學校社團為調查學生學習圍棋的情況，隨機抽取了100名學生進行調查.根據調查結果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”.
（Ⅰ）根據已知條件完成下面的列聯表，并據此資料你是否有
的把握認為“圍棋迷”與性別有關？
非圍棋迷 | 圍棋迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計 |
（Ⅱ）將上述調查所得到的頻率視為概率，現在從該地區大量學生中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名學生，抽取3次，記被抽取的3名淡定生中的“圍棋迷”人數為
。若每次抽取的結果是相互獨立的，求
的平均值和方差.
附： 
，其中
.
| 0.05 | 0.01 |
| 3.841 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
上一點
到其焦點
的距離為
，以
為圓心且與拋物線準線
相切的圓恰好過原點
.點
是
與
軸的交點， 
兩點在拋物線上且直線
過
點，過
點及
的直線交拋物線于
點.
（1）求拋物線
的方程；
（2）求證：直線
過一定點，并求出該點坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某超市在元旦期間開展優惠酬賓活動，凡購物滿100元可抽獎一次，滿200元可抽獎兩次…依此類推．抽獎箱中有7個白球和3個紅球，其中3個紅球上分別標有10元，10元，20元字樣．每次抽獎要從抽獎箱中有放回地任摸一個球，若摸到紅球，根據球上標注金額獎勵現金；若摸到白球，沒有任何獎勵．
（Ⅰ）一次抽獎中，已知摸中了紅球，求獲得20元獎勵的概率；
（Ⅱ）小明有兩次抽獎機會，用
表示他兩次抽獎獲得的現金總額，寫出
的分布列與數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，
面
.
(1)求四棱錐S-ABCD的體積;
(2)求證：面
(3)求SC與底面ABCD所成角的正切值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等比數列
的公比
，前n項和為
.若
，且
是
與
的等差中項.
（1）求
；
（2）數列
滿足
，
，求數列的前2019項和；
（3）設
，問數列
中是否存在三項，它們可以構成等差數列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
與函數
的圖像關于直線
對稱，函數
.
（Ⅰ）若
，且關于
的方程
有且僅有一個解，求實數
的值；
（Ⅱ）當
時，若關于
的不等式
在
上恒成立，求實數
的取值范圍.
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