Question

2．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+a，}&{x＜0}\\{\frac{1}{x}，}&{x＞0}\end{array}\right.$的圖象上存在不同的兩點A、B，使得曲線y=f（x）在這兩點處的切線重合，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{4}$，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （-∞，2）
• D． （-1，$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 先根據導數的幾何意義寫出函數f（x）在點A、B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等，列出關系式，從而得出a=$\frac{1}{4}$（t⁴+2t²+8t+1），t＞0，由單調性可得出a的取值范圍．

解答 解：當x＜0時，f（x）=x²+x+a的導數為f′（x）=2x+1；
當x＞0時，f（x）=$\frac{1}{x}$的導數為f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數圖象上的兩點，且x₁＜x₂，
當x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂時，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
當x₁＜0時，函數f（x）在點A（x₁，f（x₁））處的切線方程為：
y-（x₁²+x₁+a）=（2x₁+1）（x-x₁）；
當x₂＞0時，函數f（x）在點B（x₂，f（x₂））處的切線方程為y-$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$（x-x₂）．
兩直線重合的充要條件是-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=2x₁+1①，$\frac{2}{{x}_{2}}$=a-x₁²②，
由x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜1，
由①②令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，則t＞0，且a=$\frac{1}{4}$（t⁴+2t²+8t+1）在（0，+∞）為增函數，
∴a＞$\frac{1}{4}$，
故選：A．

點評 本題主要考查了導數的幾何意義等基礎知識，考查了推理論證能力、運算能力、創新意識，考查了函數與方程、分類與整合、轉化與化歸等思想方法．