Question

【題目】已知曲線，直線（其中）與曲線相交于、兩點.

（Ⅰ）若，試判斷曲線的形狀.

（Ⅱ）若，以線段、為鄰邊作平行四邊形，其中頂點在曲線上， 為坐標原點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)結合所給的方程討論可得：

當時，曲線的形狀為直線，

當時，曲線表示以焦點在軸上，以為實軸，以為焦距的雙曲線，

當時，表示焦點在軸上，以為長軸，以為焦距的橢圓，

當時，表示焦點在軸上，以為長軸，以為焦距的橢圓，

當時，表示圓心在原點，以為半徑的圓．

(Ⅱ)當時，曲線方程為： ，分類討論：

當時， ，

當時，聯立直線與橢圓的方程，消去整理變形，結合題意可得，結合，可得的取值范圍是．

試題解析：

（Ⅰ）當時， ， ，曲線的形狀為直線，

當時， ，表示以焦點在軸上，以為實軸，

以為焦距的雙曲線，

當時， ，

當，即時，表示焦點在軸上，以為長軸，以為焦距的橢圓，

當，即時，表示焦點在軸上，以為長軸，以為焦距的橢圓，

當，即時，表示圓心在原點，以為半徑的圓．

（Ⅱ）當時，曲線方程為： ，

當時， 在橢圓上，計算得出，

∴，

當時，則，消去化簡整理得：

，

①，

設， ， 的坐標分別為， ， ，

則， ，

因為點在橢圓上，所以，

從而，化簡得： ，

經檢驗滿足①式，

又，

∵，∴，

∴，

∴，

綜上， 的取值范圍是．