Question

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)，.

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為.

Answer 1

【答案】(Ⅰ） ， ，

，又， ，

數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． …………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即， ……………7分

． ……………8分

設(shè)…， ① …………10分

則…，② ……………………11分

由①②得

…， ……12分

．又…． ……13分

【解析】試題分析：（1）由，可得，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由由（1）知， ，利用分組求和，再利用錯(cuò)位相減法，即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.

試題解析：（1） ， ， ，又， ， 數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．

（2）由（1）知，即， ．設(shè)…， ① 則…，② 由①②得， ．又…． 數(shù)列的前項(xiàng)和 ．

【 方法點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)以及分組求和、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 項(xiàng)和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用“錯(cuò)位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解, 在寫(xiě)出“”與“” 的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“”的表達(dá)式.