Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且對角線MN過C點，已知AB=4米，AD=3米，設AN的長為x米（x＞3）．
（1）要使矩形AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應在什么范圍內？
（2）求當AM、AN的長度是多少時，矩形花壇AMPN的面積最小？并求出最小面積．

Answer 1

分析：（1）求出矩形AMPN的長與寬，計算其面積，利用面積大于54平方米，建立不等式，即可求得AN的長的范圍；
（2）利用換元法，再利用基本不等式，即可求得面積的最小值．

解答：解：設AN的長為x米（x＞3）
∵ABCD是矩形，∴

|DN|

|AN|

=

|DC|

|AM|

，∴|AM|=

4x

x-3

∴S_AMPN=|AN|•|AM|=

4x2

x-3

 （x＞3）----------（4分）
（1）由S_AMPN＞54，得 

4x2

x-3

＞54，
∵x＞3，∴（2x-9）（x-9）＞0
∴3＜x＜

9

2

或x＞9
∴AN長的取值范圍是(3，

9

2

)∪(9，+∞）-----------（8分）
（2）令y=

4x2

x-3

，令t=x-3（t＞0）），則x=t+3----------（10分）
∴y=

4(t+3)2

t

=4(t+

9

t

+6)≥48
當且僅當t=

9

t

（t＞0），即t=3時取等號．----------（14分）
此時AN=6，AM=8，最小面積為48平方米．----------（16分）

點評：本題考查矩形面積的計算，考查解不等式，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是構建函數模型，屬于中檔題．