Question

已知焦點在x軸上，中心在坐標原點的橢圓C的離心率為

4

5

，且過點（

10 2

3

，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l分別切橢圓C與圓M：x²+y²=R²（其中3＜R＜5）于A、B兩點，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出橢圓的方程，根據離心率及橢圓過點（

10 2

3

，1）求出待定系數，即得橢圓的方程．
（Ⅱ）用斜截式設出直線的方程，代入橢圓的方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系，化簡|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則

c

a

=

4

5

，c=

4

5

a，
∴b2 = a2-c2= 

9

25

a2，
∵橢圓過點(

10 2

3

，1)，∴

200 9

a2

 + 

1

9 25 a2

=1，解得 a²=25，b²=9，
故橢圓C的方程為

x2

25

 +

y2

9

=1（4分）

（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別為直線l與橢圓和圓的切點，
直線AB的方程為y=kx+m，因為A既在橢圓上，又在直線AB上，
從而有

x2 25 + y2 9 =1 y=kx+m

，消去y得：（25k²+9）x²+50kmx+25（m²-9）=0，
由于直線與橢圓相切，
故△=（50kmx）²-4（25k²+9）×25（m²-9）=0，從而可得：m²=9+25k²，①，x₁=-

25k

m

，②
由

x2+ y2=R2 y=kx+m

．消去y得：（k²+1）x²+2kmx+m²-R²=0，
由于直線與圓相切，得m²=R²（1+k²），③，x₂=-

kR2

m

，④
由②④得：x₂-x₁=

k(25-R2)

m

，由①③得：k²=

R2-9

25-R2

，（9分）
∴|AB|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（1+k²）（x₂-x₁）²
=

m2

R2

•

k2 (25-R2 )

m2

=

R2-9

R2

•

(25-R2)2

25-R2

= 25+ 9-R2-

225

R2

≤34-

2	R2× 225 R2

=34-30=4
即|AB|≤2，當且僅當R=

15

時取等號，所以|AB|的最大值為2（12分）

點評：本題考查用待定系數法求橢圓的標準方程，一元二次方程根與系數的關系，基本不等式的應用．