Question

已知二次函數f（x）滿足f(0)=1，f(1)=-1，f(

3

2

+x)=f(

3

2

-x)．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=-mx的兩根x₁和x₂滿足x₁＜x₂＜1，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）設二次函數f（x）=ax²+bx+c，則拋物線的對稱軸為x=

3

2

．
根據題意得

c=1 a+b+c=-1 - b 2a = 3 2

，
解之得a=1，b=-3，c=1．
所以，函數f（x）的解析式為f（x）=x²-3x+1．
（Ⅱ）由f（x）=x²-3x+1=-mx得x²+（m-3）x+1=0．
設g（x）=x²+（m-3）x+1，
則拋物線的對稱軸為x=-

m-3

2

．
方程g（x）=0的兩根x₁和x₂滿足x₁＜x₂＜1，
則有

△=(m-3)2-4＞0 g(1)=m-1＞0 - m-3 2 ＜1

解之得m＞5．
所以，實數m的取值范圍為（5，+∞）．