Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線（為參數），在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線.

（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；

（2）設點在曲線上，點在曲線上，求的最小值及此時點的直角坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值為，此時的直角坐標為

【解析】

（1）根據消去參數，曲線參數方程化為普通方程；曲線極坐標方程展開，代入，即可求出直角坐標方程；

（2）設點，的最小值為點到直線距離的最小值，根據點到直線距離公式，結合輔助角公式，轉化為求余弦型函數的最小值，即可求出結論.

（1）由（為參數），

得的普通方程為；

由，得，

即，又由，

得曲線；

（2）由題意，可設點的直角坐標為，

因為是直線，所以的最小值，即為到的距離的最小值，

.

當且僅當時，取得最小值，最小值為，

此時的直角坐標為.