Question

對于函數f（x）=-2cosx，x∈[0，π]與函數g(x)=

1

2

x2+lnx有下列命題：
①函數f（x）的圖象不管怎樣平移所得圖象對應的函數都不會是奇函數；
②方程g（x）=0沒有零點；
③函數f（x）和函數g（x）圖象上存在平行的切線；
④若函數f（x）在點P處的切線平行于函數g（x）在點Q處的切線，則直線PQ的斜率為

1

2-π

．
其中正確的是

③④

（把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①函數向左平移

π

2

個單位所得的為奇函數；
②求導函數，可得函數g（x）在定義域內為增函數，利用零點存在定理，可得函數g（x）在（e^-1，1）上有且只有一個零點；
③根據f′（x）=2sinx≤2，g′（x）=x+

1

x

≥2，可得函數f（x）和函數g（x）圖象上存在平行的切線；
④要使函數f（x）在點P處的切線平行于函數g（x）在點Q處的切線只有f'（x）=g'（x）=2，故可得結論．

解答：解：①函數向左平移

π

2

個單位所得的為奇函數，故①錯；
②求導函數g′（x）=x+

1

x

≥2，所以函數g（x）在定義域內為增函數，
∵g（e^-1）=

1

2e2

-1＜0，g（1）=

1

2

＞0，∴函數g（x）在（e^-1，1）上有且只有一個零點，②錯誤；
③因為f′（x）=2sinx≤2，g′（x）=x+

1

x

≥2，所以函數f（x）和函數g（x）圖象上存在平行的切線，③正確；
④要使函數f（x）在點P處的切線平行于函數g（x）在點Q處的切線只有f'（x）=g'（x）=2，這時P（

π

2

，0），Q（1，

1

2

），所以直線PQ的斜率為

1

2-π

，④也正確
故答案為：③④

點評：本題以命題為載體，考查命題的真假，考查導數知識的運用，考查零點存在定理，知識綜合性強．