Question

一個(gè)口袋裝有n個(gè)紅球(n≥5且n∈N)和5個(gè)白球,一次摸獎(jiǎng)從中摸2個(gè)球(每次摸獎(jiǎng)后放回),2個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng).
(1)試用n表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率.
(2)若n=5,求3次摸獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)次數(shù)ξ=1的概率及數(shù)學(xué)期望.
(3)記3次摸獎(jiǎng)恰有1次中獎(jiǎng)的概率為P,當(dāng)n取多少時(shí),P最大?

Answer 1

(1) P=   (2)       (3) n=20

(1)記“1次從n+5個(gè)球中摸出2個(gè)球”為事件A,card(A)=.
“1次從n+5個(gè)球中摸出2個(gè)球且2個(gè)球異色”為事件B,card(B)=5n,
所以,所求概率P=.
(2)3次放回式摸獎(jiǎng)中“每次從n+5個(gè)球中摸出2個(gè)球且2個(gè)球異色”為獨(dú)立重復(fù)事件,
當(dāng)n=5時(shí),獲獎(jiǎng)次數(shù)ξ～B(3,),
P(ξ=1)=.
E(ξ)=np==.
(3)ξ～B(n,p),
P(ξ=1)=p(1-p)²=3p³-6p²+3p,0<p<1,
令f(p)=3p³-6p²+3p,由f'(p)=9p²-12p+3=0,
得p=;
當(dāng)p=時(shí)f(p)有最大值.
由p==,解得n=20.
所以當(dāng)n=20時(shí),3次摸獎(jiǎng)恰有1次中獎(jiǎng)的概率最大.