Question

【題目】雙曲線 的右焦點為F（2，0），設A、B為雙曲線上關于原點對稱的兩點，AF的中點為M，BF的中點為N，若原點O在以線段MN為直徑的圓上，直線AB的斜率為 ，則雙曲線的離心率為（ ）
A.4
B.2
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由題意可知：設A（x0 ， y0），B（﹣x0 ， ﹣y0），由右焦點F（2，0），則c=2 ∵以MN為直徑的圓過原點O，
∴OM⊥ON，
又∵OM∥BF，ON∥AF，
∴AF⊥BF，
=（2﹣x0 ， ﹣y0）， =（2+x0 ， y0），
∴ =（2﹣x0）（2+x0）﹣y02 ，
∴4﹣x02﹣y02=0，
即x02+y02=4，
由kAB= ，
∴y02= x02 ，
∴x02+ x02=4，
解得：x02= ，y02= ，
代入雙曲線方程得： =1，
∴7b2﹣9a2=4a2b2 ， 由b2=c2﹣a2=4﹣a2 ，
∴7（4﹣a2）﹣9a2=4a2（4﹣a2），解得：a2=1或a2=7（舍），
∴a=1，
∴e=2，
故選：B．