Question

已知函數f（x）=log₂

1+x

1-x

．
（Ⅰ）寫出函數的定義域；函數的奇偶性
（Ⅱ）根據函數單調性的定義，證明函數f（x）是增函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要使f（x）有意義，即

1+x

1-x

＞0，求得x的范圍，可得f（x）的定義域．
（Ⅱ）由于 f（x）的定義域為（-1，1），且f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數．
（Ⅲ）任取-1＜x₁＜x₂，求得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），可得函數f（x）是增函數．

解答：解：（Ⅰ）要使f（x）有意義，即

1+x

1-x

＞0，∴f（x）的定義域為（-1，1）．
（Ⅱ）由于 f（x）的定義域為（-1，1），且f（-x）=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
（Ⅲ）任取-1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=log2

1-x1

1+x1

-log2

1-x2

1+x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

．

由題設可得 0＜

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1，∴log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0，故有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

故函數f（x）是增函數．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質，函數的奇偶性、單調性的判斷和證明，屬于中檔題．