Question

設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin2(x+

π

2

)
（1）求f（x）的最小正周期和對(duì)稱軸方程；
（2）當(dāng)x∈[-

π

3

，

π

4

]時(shí)，求f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)f（x）的解析式為

3

sin(2x+

π

3

)+1，由此求得函數(shù)的最小正周期以及對(duì)稱軸方程．
（2 ）由 x∈[-

π

3

，

π

4

]，可得 -

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，故當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

時(shí)，sin(2x+

π

3

)=1，由此求得求f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin2(x+

π

2

)=cos（2x-

π

3

）+2×

1-cos(2x+π)

2

=cos（2x-

π

3

）+cos2x+1=

3

2

cos2x+

3

2

sin2x+1=

3

sin(2x+

π

3

)+1．…（3分）
故函數(shù)的最小正周期T=π…（4分）
由2x+

π

3

=kπ+

π

2

，(k∈z)得對(duì)稱軸方程x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z． …（6分）
（2 ）∵x∈[-

π

3

，

π

4

]，∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，故當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

時(shí)，sin(2x+

π

3

)=1，
此時(shí)x=

π

12

，f（x）有最大值

3

+1．…（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，以及周期性和對(duì)稱性，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題．