Question

已知等比數列{a_n}各項都是正數，a₁=3，a₁+a₂+a₃=21，S_n為{a_n}的前n項和，
（Ⅰ）求通項a_n及S_n；
（Ⅱ）設{b_n-a_n}是首項為1，公差為3的等差數列，求數列{b_n}的通項公式及其前n項和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，則q＞0，
代入已知可得3+3q+3q²=21，解得q=2，或q=-3（舍去），
故a_n=3×2^n-1，S_n=

3(1-2n)

1-2

=3×2^n-1-3；
（Ⅱ）∵{b_n-a_n}是首項為1，公差為3的等差數列，
∴b_n-a_n=1+3（n-1）=3n-2，即b_n=3×2^n-1+3n-2
故T_n=3（1+2+2²+…+2^n-1）+（1+4+7+…+3n-2）
=

3(1-2n)

1-2

+

n(1+3n-2)

2

=3×2ⁿ-3+

3n2-n

2