Question

已知函數(shù)f（x）=（t-x），其中t為常數(shù)，且t>0。
（1）求函數(shù)f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（2）數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n項和S_n滿足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），且設(shè)b_n=1-，證明：對任意的x＞0，b_n≥n=1，2，3，…；
（3）證明：b₁+b₂+…+b_n＞。

Answer 1

解：（1）由于
則
∵x>0
∴當x＜t時，f′_t（x）＞0；當x>t時，f'_t（x）<0
∴當x=t時，f_t（x）取得最大值；
（2）由題意知

即a_n=
∴


檢驗知n=1，2時，結(jié)論也成立，故
所以
令
由（1）知
∴對任意的x>0，不等式
成立。
（3）由（2）知，對任意的x>0，有


令
則

則
∴原不等式成立。