Question

【題目】若四位數的各位數碼中，任三個數碼皆可構成一個三角形的三條邊長，則稱n為“四位三角形數”.試求所有四位三角形數的個數.

Answer 1

【答案】1681

【解析】

稱（）為n的數碼組,則

1.當數碼組只含一個值，即 時，共得9個n值.

2.當數碼組恰含兩個值

i.數碼組為型，則任取三個數碼皆可構成三角形

對于每個，b可取個值

則數碼組個數為.

對于每組，b有4種占位方式.

于是，這種n有個.

ii.數碼組為型，據構成三角形條件，有.

如下表，共得16個數碼組，對于每組，有4種占位方式.

于是，這種n有個.

的取值	1	2	3	4	5	6	7	8	9
中的個數	0	1	2	3	4	3	2	1	0

iii.數碼組為型，據構成三角形條件，有.

同上得16個數碼組，對于每組，兩個有種占位方式.

則這種n有個.

以上共計144+64+96=304個.

3.當數碼組恰含三個值.

i.數碼組為型，據構成三角形條件，則有.

這種有14組，每組中有種占位方式.

于是，這種n有個.

ii.數碼組為型，.

此條件等價于中取3個不同的數構成三角形的方法數.

有34組，每組中有種占位方式.

于是，這種n有個.

iii.數碼組為型，，同情況ii，有個n值.

以上共計168+408+408=984個.

4. 互不相同，則有.

這種有16組，每組有種排法.

共得個n值.

綜上，全部四位三角形數n的個數為9+304+984+384=1681（個）